Szczegółowy wykaz zagadnień obowiązujących na egzaminie wstępnym z matematyki

Logika

1. Def. zdania, negacja zdania, koniunkcji, alternatywy, implikacji, równoważności zdań. Tabele wartości logicznych zdań złożonych.
2. Kwantyfikatory, formy zdaniowe, formy zdaniowe tożsamościowe, sprzeczne - definicje.
3. Prawa rachunku zdań. Dowody praw: podwójnej negacji, de Morgana, zaprzeczenia implikacji.
4. Budowa twierdzenia, twierdzenie proste, odwrotne, przeciwne, przeciwstawne.
5. Definicje działań na zbiorach (suma, iloczyn, różnica, iloczyn kartezjański)
6. Prawa rachunku zbiorów, analogie do praw rachunku zdań, ich interpretacja na diagramach Venna.

Liczby rzeczywiste

1. Ciało liczb rzeczywistych. Def. podstawowych podzbiorów R i ich zależności między sobą.
2. Def. pierwiastka stopnia n. Wykonywanie działań na wyrażeniach algebraicznych i rzeczywistych. Procenty.
3. Dowód niewymierności niektórych pierwiastków.
4. Ułamki dziesiętne okresowe i nieokresowe - związek z liczbami wymiernymi i niewymiernymi, działania (także przybliżone), zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny i na odwrót.
5. Przedziały liczbowe, def. kresu górnego i dolnego zbioru liczbowego. Gęstość zbioru
6. Def. wartości bezwzględnej. Dowody własności modułu. Rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Funkcje

1. Def. funkcji jednej zmiennej, injekcji (różnowartościowej), surjekcji, bijekcji.
2. Def. funkcji rosnącej, malejącej, parzystej, nieparzystej, okresowej, odwrotnej (warunek istnienia, symetria punktów (x,y) i (y,x)) - interpretacja geometryczna, złożonej - (graf).
3. Def. wykresu funkcji, miejsca zerowego funkcji.
4. Przesunięcie wykresu funkcji, wyprowadzanie stosownych wzorów.
5. Wykresy funkcji f(-x), -f(x), |f(x)|, mając dany wykres y = f(x).

Funkcja liniowa

1. Proporcjonalność prosta i odwrotna, def. funkcji liniowej, interpretacja geometryczna współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego; wykresy, własności.
2. Funkcje przedziałami liniowe i ich wykresy (w szczególności f(x)=|x|, f(x)=sgn(x), f(x)=[x], f(x)=x-[x]).
3. Rozwiązywanie równań liniowych z parametrem.
4. Wykresy równań i nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi.
5. Metody rozwiązywania układów równań liniowych, układy oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne - interpretacja geometryczna, dyskusja rozwiązań układów z parametrem. Alternatywy równań lub nierówności.

Funkcja kwadratowa

1. Def. funkcji kwadratowej, wyprowadzenie w ogólnym przypadku: postaci kanonicznej i iloczynowej, wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli, pierwiastki równania kwadratowego, wzorów Viete'a.
2. Wykresy funkcji kwadratowej.
3. Równania i nierówności kwadratowe. Dyskusja rozwiązań równania kwadratowego z parametrem. Układy równań i nierówności, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego.

Wielomiany i funkcje wymierne

1. Def. jednomianu i wielomianu stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej, wielomianu zerowego, przykłady wielomianów wielu zmiennych. Wykonywanie działań na wielomianach.
2. Def. pierwiastka wielomianu (także n-krotnego). Podstawowe twierdzenie algebry, twierdzenie o rozkładzie wielomianu, dowód twierdzenia Bezouta.
3. Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych oraz wymiernych wielomianu. Rozwiązywanie równań i nierówności wielomianowych i ich układów, rozkładanie wielomianu na czynniki.
4. Def. funkcji homograficznej, jej wykres, wyprowadzenie równań asymptot.
5. Def. funkcji wymiernej. Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych a także ich układów.

Granica funkcji

1. Def. Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji. Twierdzenie o równoważności tych definicji. Obliczanie granic funkcji z definicji.
2. Twierdzenia o granicach funkcji. Działaniach na granicach funkcji, twierdzenie o granicach trzech funkcji.
3. Def. granicy niewłaściwych funkcji, granic jednostronnych, granic w nieskończoności.
4. Symbole nieoznaczone. Twierdzenie de L'Hospitala.
5. Obliczanie granic funkcji.
6. Def. ciągłości funkcji w punkcie i ciągłości funkcji.
7. Twierdzenie o funkcjach ciągłych (własności). Dowód twierdzenia o działaniach na funkcjach ciągłych.
8. body nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju. Badanie ciągłości funkcji.

Pochodna funkcji

1. Def. ilorazu różnicowego, pochodnej funkcji w punkcie (w dwóch wersjach). Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.
2. Def. pochodnej funkcji, pochodnych jednostronnych. Def. pochodnych wyższego rzędu. Obliczanie pochodnych funkcji z definicji
3. Dowód twierdzenia o związku między różniczkowalnością i ciągłością funkcji w punkcie.
4. Dowody następujących twierdzeń: o pochodnej funkcji potęgowej, trygonometrycznych, o działaniach arytmetycznych na pochodnych, o pochodnej funkcji odwrotnej, o pochodnej funkcji logarytmicznej, o związku między znakiem pochodnej i monotonicznością funkcji.
5. Def. ekstremum lokalnego funkcji w punkcie, związek z wartością największą lub najmniejszą funkcji.
6. Dowód warunku koniecznego ekstremum funkcji oraz I warunku wystarczającego ekstremum funkcji. II warunek wystarczający ekstremum funkcji.
7. Def. wypukłości i wklęsłości funkcji. Dowód twierdzenia o związku między znakiem drugiej pochodnej i wklęsłością lub wypukłością funkcji.
8. Def. punktu przegięcia krzywej. Warunek konieczny i wystarczający punktu przegięcia.
9. Definicje asymptot pionowych, ukośnych, poziomych, lewostronnych, prawostronnych, obustronnych. Twierdzenie o równaniu asymptoty.
10. Badania przebiegu funkcji. Rozwiązywanie zadań tekstowych prowadzących do wyznaczania ekstremum funkcji.
11. Wyprowadzanie równania stycznej do krzywej. Wyznaczanie stycznych, kąta między krzywymi.

Ciągi

1. Def. ciągu nieskończonego, skończonego, ograniczonego, monotonicznego. Badanie monotoniczności z def.
2. Zasada indukcji matematycznej. Dowód nierówności Bernoulliego.
3. Def. ciągu arytmetycznego. Dowody twierdzeń: o n-tym wyrazie ciągu arytmetycznego oraz sumie n początkowych wyrazów tego ciągu.
4. Def. ciągu geometrycznego. Dowody twierdzeń: o n-tym wyrazie ciągu geometrycznego, o sumie n początkowych wyrazów tego ciągu oraz o sumie nieskończonego ciągu geometrycznego.
5. Związek średniej arytmetycznej i geometrycznej z wyrazami ciągu geometrycznego i geometrycznego.
6. Def. granicy ciągu nieskończonego. Dowodzenie zbieżności ciągu z def.
7. Twierdzenie o trzech ciągach. Dowody następujących twierdzeń: o działaniach arytmetycznych na granicach ciągu, o związku między zbieżnością i ograniczonością ciągu, o związku między monotonicznością ciągu ograniczonego i jego zbieżnością
8. Def. rozbieżności ciągu do nieskończoności, badanie z def. rozbieżności ciągu nieskończonego.
9. Obliczanie granic ciągów.

Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna

1. Def. potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym, określenie potęgi o wykładniku niewymiernym.
2. Dowody twierdzenia o działaniach na potęgach o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym. Twierdzenie o działaniach na potęgach o wykładniku rzeczywistym.
3. Twierdzenie o porównywaniu potęg. Def. funkcji potęgowej, własności, wykresy, zależności między nimi dla potęg o różnych wykładnikach.
4. Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych (w tym pierwiastkowych) i ich układów.
5. Def. funkcji wykładniczej, wykresy, własności.
6. Twierdzenie o działaniach na funkcjach wykładniczych.
7. Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych i ich układów.
8. Def. logarytmu, logarytmu dziesiętnego i naturalnego. Obliczanie logarytmów z pomocą tablic lub kalkulatora.
9. Dowody twierdzeń o działaniach na logarytmach i o zamianie podstawy logarytmu.
10. Def. funkcji logarytmicznej, wykresy, własności. Uzasadnienie wzajemnej odwrotności funkcji wykładniczej i logarytmicznej.
11. Rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych i ich układów.

Rachunek prawdopodobieństwa

1. Wzory na wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami, kombinacje. Własności symbolu Newtona, dwumian Newtona, trójkąt Pascala.
2. Def. prawdopodobieństwa dla skończonego zbioru zdarzeń elementarnych. Twierdzenie o prawdopodobieństwie klasycznym. Własności prawdopodobieństwa z dowodami.
3. Def. prawdopodobieństwa warunkowego. Dowód twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (Bayesa)
4. Def. niezależności zdarzeń. Schemat Bernoulliego.
5. Def. zmiennej losowej i jej rozkładu. Def. wartości oczekiwanej i jej własności.
6. Def. wariancji zmiennej losowej.

Figury geometryczne

1. Def. wektora, grupa wektorów, równość wektorów, działania na wektorach, warunek prostopadłości i równoległości wektorów.
2. Def. kąta, kąta skierowanego, grupa kątów skierowanych.
3. Def. odległości w zbiorze, nierówność trójkąta. Def. figury geometrycznej.
4. Różne postacie równań prostych na płaszczyźnie, twierdzenie o wektorze prostopadłym do prostej, dowód warunków równoległości i prostopadłości prostych, wzajemne położenie prostych. Odległość punktu od prostej.
5. Def. okręgu, sfery, kuli. Dowody twierdzenia o kątach w kole. Wyznaczanie okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie, wysokości, środkowej, punktu ciężkości trójkąta. Rodzaje trójkątów.
6. Twierdzenie o symetralnej odcinka i dwusiecznej kąta.
7. Twierdzenie o okręgu opisanym i wpisanym w wielokąt. Warunki wpisania lub opisania okręgu na czworokącie. Dowód twierdzenia o liczbie przekątnych w wielokącie.
8. Dowód twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych w trójkącie oraz wielokącie.
9. Rodzaje czworokątów - własności.
10. Dowód twierdzenia Pitagorasa.

Przekształcenia

1. Definicje, wzory analityczne, niezmienniki przekształceń.
2. Dowód twierdzenia Talesa. Zastosowania w zadaniach konstrukcyjnych.
3. Def. izometrii, twierdzenia o izometriach, dowód twierdzenia o punktach stałych izometrii.
4. Dowód twierdzenia o złożeniu translacji, obrotów, symetrii osiowych względem prostych prostopadłych, symetrii środkowych, jednokładności. Grupa translacji, obrotów, jednokładności, podobieństw. Znajomość pozostałych twierdzeń dotyczących tych przekształceń.
5. Izometrie parzyste, nieparzyste - klasyfikacja.
6. Podobieństwo i przystawanie figur - definicje, twierdzenia.

Funkcje trygonometryczne

1. Def. miary łukowej i stopniowej kąta. Def. funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta - dowód "jedynki trygonometrycznej".
2. Wzory redukcyjne - dowód wzoru na sin(x+90°) i cos(x+90°).
3. Wykresy funkcji trygonometrycznych, własności.
4. Związki między funkcjami trygonometrycznymi - dowody wzorów sinusa i cosinusa sumy, różnicy kątów, wielokrotności kąta, sumy i różnicy sinusów (cosinusów) kątów.
5. Definicje, wykresy, własności funkcji odwrotnych do funkcji trygonometrycznych.
6. Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych, sprawdzanie tożsamości trygonometrycznych. Zastosowanie funkcji trygonometrycznych w rozwiązywaniu zadań tekstowych.

Własności miarowe figur płaskich

1. Wzory na pole trójkąta, czworokątów, obliczanie obwodów i pól dowolnych wielokątów. Twierdzenie o związku pól i obwodów wielokątów podobnych. Pole koła i długość okręgu.
2. Dowód twierdzenia sinusów i cosinusów.
3. Twierdzenie o rzucie boków trójkąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego.

Figury i przekształcenia geometryczne w przestrzeni

1. Wzajemne położenie dwóch prostych, prostej i płaszczyzny, dwóch płaszczyzn w przestrzeni.
2. Def. kąta prostej z płaszczyzną i dwóch płaszczyzn. Rzutowanie kątów, ścian brył na płaszczyznę.
3. Uogólnienia przekształceń płaszczyzny na przekształcenia przestrzeni. Wzory analityczne dla translacji, jednokładności i symetrii środkowej. Symetria płaszczyznowa.
4. Def. wielościanu, czworościanu, ostrosłupa, graniastosłupa, równoległościanu, prostopadłościanu - własności.
5. Siatki wielościanów, wielościany foremne. Twierdzenie Eulera.
6. Wzory na objętości wielościanów i ich pola powierzchni.
7. Def. figur obrotowych - walec, stożek, kula. Własności, wzory na objętość i pole powierzchni.
8. Przekroje bryły płaszczyzną. Krzywe stożkowe - wykresy, własności, wzory.